Disposer 4 mini-cocottes rondes sur une petite plaque de cuisson et verser 1 c. à soupe (15 ml) d’huile d’olive dans chacune. Couvrir les cocottes et mettre la plaque au four sur la grille du bas. Préchauffer le four à 425 °F (220 °C).
Dans une passoire disposée sur un grand bol, incorporer les pommes de terre et les patates douces râpées, puis ajouter une généreuse quantité de sel et un peu de poivre. Égoutter.
Sortir la plaque une fois que le four a atteint la température désirée. Répartir soigneusement le mélange de pommes de terre et de patates douces entre les mini-cocottes. Tasser le mélange dans l’huile chaude avec le dos d’une cuillère. Introduire une petite noisette de beurre (environ 1 c. à thé ou 5 ml) dans chaque mini-cocotte. Cuire à découvert pendant 15 minutes. Remuer et laisser cuire pendant 15 minutes supplémentaires ou jusqu’à ce que le mélange soit tendre au centre et croustillant sur les bords.
Pendant ce temps, dans une poêle en fonte avec poignée ou une saucière, faire fondre le beurre restant à feu moyen. Sauter les champignons jusqu’à ce qu’ils soient tendres. Saler et poivrer. Ajouter les mini-épinards (ou tout autre légume-feuille au choix) et la ciboulette. Saler et poivrer légèrement. Sauter jusqu’à ce que les légumes-feuilles soient tout juste tombés. Retirer du feu et incorporer le parmesan. Rectifier l’assaisonnement.
Retirer les mini-cocottes du four. Ajouter une tranche de jambon dans chaque cocotte. Couper chaque tranche de sorte que sa forme corresponde à celle de la cocotte. Garnir du mélange de champignons. Former un trou au centre des ingrédients. Casser délicatement un œuf dans chaque trou. Saler et poivrer.
Faire cuire de 12 à 15 minutes ou jusqu’à ce que le blanc des œufs soit cuit et le jaune coulant. Garnir de ciboulette et de parmesan, au goût. Servir immédiatement avec du pain grillé ou rôti à tremper dans le jaune d'œuf coulant.